9 класс

1. Катеты пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равны 4 и 3. Най­ди­те синус наи­мень­ше­го угла этого треугольника.

2.

В окруж­но­сти с цен­тром O AC и BD — диаметры. Цен­траль­ный угол AOD равен 116°. Най­ди­те вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

3.

Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD равна 120. Точка E — се­ре­ди­на сто­ро­ны CD. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции ABED.

4.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён прямоугольный треугольник. Найдите длину его большего катета.

5. Ука­жи­те но­ме­ра вер­ных утвер­жде­ний.

1) Если три угла од­но­го тре­уголь­ни­ка равны трем углам дру­го­го тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки по­доб­ны.

2) Сумма смеж­ных углов равна 180°.

3) Любая ме­ди­а­на рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка яв­ля­ет­ся его бис­сек­три­сой.

6. Основания тра­пе­ции равны 4 и 9. Най­ди­те отрезок, со­еди­ня­ю­щий се­ре­ди­ны диа­го­на­лей трапеции.

7. Биссектрисы углов A и D па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке E сто­ро­ны BC. Докажите, что E — се­ре­ди­на BC.

8. Две ка­са­ю­щи­е­ся внеш­ним об­ра­зом в точке K окружности, ра­ди­у­сы ко­то­рых равны 31 и 32, ка­са­ют­ся сто­рон угла с вер­ши­ной A. Общая ка­са­тель­ная к этим окружностям, про­хо­дя­щая через точку K, пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ны угла в точ­ках B и C. Най­ди­те ра­ди­ус окружности, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC.