11 класс

 1.  На числовой прямой даны два отрезка: P = [10, 39] и Q = [23, 58]. Какова наименьшая возможная длина интервала A, что формула

((x ∈ P) ∧ (x ∈ Q)) → ((x ∈ Q) ∧ (x ∈ A ))

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

2.  Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m».

Для какого наибольшего натурального числа А формула

ДЕЛ(120, A) ∧ (¬ДЕЛ(x, А) → (ДЕЛ(x, 18) → ¬ДЕЛ(x, 24)))

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?

3.  Обозначим через m & n поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел m и n.

Так, например, 14 & 5 = 1110₂ & 0101₂ = 0100₂ = 4. Для какого наименьшего неотрицательного целого числа А формула

(x & 105 = 0) → ((x & 58 ≠ 0) → (x & А ≠ 0))

тождественно истинна (т. е. принимает значение 1 при любом неотрицательном целом значении переменной x)?